寻找数据流中出现最频繁的k个元素(find top k frequent items in a data stream)。这个问题也称为 Heavy Hitters.

这题也是从实践中提炼而来的，例如搜索引擎的热搜榜，找出访问网站次数最多的前10个IP地址，等等。

方案1: HashMap + Heap

用一个 HashMap<String, Long>，存放所有元素出现的次数，用一个小根堆，容量为k，存放目前出现过的最频繁的k个元素，

1. 每次从数据流来一个元素，如果在HashMap里已存在，则把对应的计数器增1，如果不存在，则插入，计数器初始化为1
2. 在堆里查找该元素，如果找到，把堆里的计数器也增1，并调整堆；如果没有找到，把这个元素的次数跟堆顶元素比较，如果大于堆丁元素的出现次数，则把堆丁元素替换为该元素，并调整堆

• 空间复杂度O(n)。HashMap需要存放下所有元素，需要O(n)的空间，堆需要存放k个元素，需要O(k)的空间，跟O(n)相比可以忽略不急，总的时间复杂度是O(n)
• 时间复杂度O(n)。每次来一个新元素，需要在HashMap里查找一下，需要O(1)的时间；然后要在堆里查找一下，O(k)的时间，有可能需要调堆，又需要O(logk)的时间，总的时间复杂度是O(n(k+logk))，k是常量，所以可以看做是O(n)。

如果元素数量巨大，单机内存存不下，怎么办？ 有两个办法，见方案2和3。

方案2: 多机HashMap + Heap

• 可以把数据进行分片。假设有8台机器，第1台机器只处理hash(elem)%8==0的元素，第2台机器只处理hash(elem)%8==1的元素，以此类推。
• 每台机器都有一个HashMap和一个 Heap, 各自独立计算出 top k 的元素
• 把每台机器的Heap，通过网络汇总到一台机器上，将多个Heap合并成一个Heap，就可以计算出总的 top k 个元素了

方案3: Count-Min Sketch + Heap

既然方案1中的HashMap太大，内存装不小，那么可以用Count-Min Sketch算法代替HashMap，

• 在数据流不断流入的过程中，维护一个标准的Count-Min Sketch 二维数组
• 维护一个小根堆，容量为k
• 每次来一个新元素，
  • 将相应的sketch增1
  • 在堆中查找该元素，如果找到，把堆里的计数器也增1，并调整堆；如果没有找到，把这个元素的sketch作为钙元素的频率的近似值，跟堆顶元素比较，如果大于堆丁元素的频率，则把堆丁元素替换为该元素，并调整堆

这个方法的时间复杂度和空间复杂度如下：

• 空间复杂度O(dm)。m是二维数组的列数，d是二维数组的行数，堆需要O(k)的空间，不过k通常很小，堆的空间可以忽略不计
• 时间复杂度O(nlogk)。每次来一个新元素，需要在二维数组里查找一下，需要O(1)的时间；然后要在堆里查找一下，O(logk)的时间，有可能需要调堆，又需要O(logk)的时间，总的时间复杂度是O(nlogk)。

方案4: Lossy Counting

Lossy Couting 算法流程：

1. 建立一个HashMap，用于存放每个元素的出现次数
2. 建立一个窗口（窗口的大小由错误率决定，后面具体讨论）
3. 等待数据流不断流进这个窗口，直到窗口满了，开始统计每个元素出现的频率，统计结束后，每个元素的频率减1，然后将出现次数为0的元素从HashMap中删除
4. 返回第2步，不断循环

Lossy Counting 背后朴素的思想是，出现频率高的元素，不太可能减一后变成0，如果某个元素在某个窗口内降到了0，说明它不太可能是高频元素，可以不再跟踪它的计数器了。随着处理的窗口越来越多，HashMap也会不断增长，同时HashMap里的低频元素会被清理出去，这样内存占用会保持在一个很低的水平。

很显然，Lossy Counting 算法是个近似算法，但它的错误率是可以在数学上证明它的边界的。假设要求错误率不大于ε，那么窗口大小为1/ε，对于长度为N的流，有N／（1/ε）＝εN 个窗口，由于每个窗口结束时减一了，那么频率最多被少计数了窗口个数εN。

该算法只需要一遍扫描，所以时间复杂度是O(n)。

该算法的内存占用，主要在于那个HashMap, Gurmeet Singh Manku 在他的论文里，证明了HashMap里最多有 1/ε log (εN)个元素，所以空间复杂度是O(1/ε log (εN))。

方案5: SpaceSaving

TODO, 原始论文 “Efficient Computation of Frequent and Top-k Elements in Data Streams”

参考资料

1. An improved data stream summary:the count-min sketch and its applications by Graham Cormode
2. Approximate Frequency Counts over Data Streams by Gurmeet Singh Manku
3. A.Metwally, D.Agrawal, A.El Abbadi. Efficient Computation of Frequent and Top-k Elements in Data Streams. In Proceeding of the 10th International Conference on Database Theory(ICDT), pp 398-412,2005.
4. Massimo Cafaro, et al. “A parallel space saving algorithm for frequent items and the Hurwitz zeta distribution”. Proceeding arXiv: 1401.0702v12 [cs.DS] 19 Setp 2015.
5. Efficient Computation of Frequent and Top-k Elements in Data Streams by Ahmed Metwally
6. Finding Frequent Items in Data Streams

• 实时大数据流上的频率统计：Lossy Counting Algorithm - 待字闺中
• What is Lossy Counting? - Stack Overflow